Himpunan Bagian {2}

KITA sudah membicarakan tentang himpunan. Himpunan hampir sama dengan kelompok, tetapi tidak sama persis. Himpunan bisa memiliki hanya satu anggota. Sebuah kelompok biasanya memiliki anggota dua atau lebih. Himpunan bahkan bisa tidak memiliki anggota. Sebuah kelompok pasti memiliki anggota. Oya, disebut apa himpunan yang tidak memiliki anggota? Himpunan kosong.

Sekarang, kita membicarakan himpunan bagian.

Himpunan Bagian

Kita perlu berpikir bahwa sebuah himpunan adalah bagian dari himpunan lain. Misalnya, Keluarga Kunyit tinggal di Kampung Baru. Itu berarti semua anggota Keluarga Kunyit adalah orang Kampung Baru. Jadi, Himpunan Keluarga Kunyit adalah bagian dari Himpunan Kampung Baru. 

Di tulisan pertama, kita memberi nama Himpunan Keluarga Kunyit dengan huruf A. Himpunan Kampung Baru kita beri nama X. Maka, kita bisa menyebut bahwa A adalah himpunan bagian dari X. Kenapa A bagian dari X? Sebab semua anggota A adalah anggota X. 

Jadi, “A adalah himpunan bagian dari X” jika semua anggota A adalah anggota X.

Lambang untuk himpunan bagian adalah seperti ini:

Dengan menggunakan lambang di atas, kita bisa menulis:

Artinya, A adalah himpunan bagian dari X

Dalam bentuk gambar, letak himpunan bagian selalu di dalam himpunan yang lebih besar. Jadi, lingkaran A kita tempatkan di dalam lingkaran X. Gambarnya seperti ini:

Sekarang pertanyaannya kita balik. Apakah semua orang Kampung Baru adalah anggota Keluarga Kunyit? Tidak. 

Anggota keluarga Kunyit (A) hanya lima orang. Anggota Kampung X adalah orang satu kampung. Jadi tidak semua anggota X adalah anggota A. Karena tidak semua anggota X adalah anggota A, maka X bukan himpunan bagian dari A. Lambang untuk bukan himpunan bagian adalah seperti ini:

Untuk menyatakan X bukan himpunan bagian dari A, kita bisa menuliskannya begini:

Tapi semua orang di Kampung Baru adalah warga Kelurahan Makmur. Kelurahan Makmur kita ganti namanya dengan huruf Y. Maka, X adalah himpunan bagian dari Y. Bagaimana kita menulisnya?

Selanjutnya, semua warga Kelurahan Makmur adalah warga Kecamatan. Semua warga kecamatan adalah warga Kota. Semua warga Kota adalah warga Provinsi. Semua warga Provinsi adalah warga Negara. Semua warga negara adalah warga Dunia.

Mari kita kembali lagi ke Himpunan Keluarga Kunyit. Di dalam Himpunan Keluarga Kunyit ada juga Himpunan lain, yaitu himpunan semua laki-laki di dalam keluarga kunyit. Anggota himpunan ini adalah tiga orang, yaitu Bapak, Karebet, Nara. Kita beri nama himpunan baru ini dengan huruf B. Maka, kita menuliskannya seperti ini:

• B = {Bapak, Karebet, Nara}

Jadi, 

• Nara Є B (dibaca, Nara adalah anggota himpunan B)
• Karebet Є B (dibaca, Karebet adalah anggota himpunan B)
• Bapak Є B (dibaca, Bapak adalah anggota himpunan B)

Himpunan B itu apa? Himpunan B adalah himpunan semua laki-laki di dalam keluarga Kunyit.

Apakah semua anggota B juga anggota A? Ya. Nara, Karebet, dan Bapak adalah anggota Himpunan Keluarga Kunyit. Karena itu, B adalah himpunan bagian dari A. Gambarnya seperti ini:

Gambar di atas menunjukkan bahwa B adalah himpunan bagian dari A. Tetapi A bukan himpunan bagian dari B.

Jumlah Himpunan Bagian

Di dalam matematika, kita akan biasa menggunakan lambang. Misalnya, Nara kita ganti menjadi huruf p, Karebet kita ganti menjadi huruf q, dan Bapak kita ganti menjadi huruf r. Sekarang, kita bisa menuliskan anggota himpunan B dengan cara seperti ini:
B = {p, q, r}
Pertanyaannya, dengan tiga anggota {p, q, r}, berapa jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh B? Mari kita lihat.

• {p} adalah himpunan bagian dari B
• {p} adalah himpunan bagian dari B
• {r} adalah himpunan bagian dari B
• {p. q} adalah himpunan bagian dari B
• {p, r} adalah himpunan bagian dari B
• {q, r} adalah himpunan bagian dari B
• Dua lagi adalah {p, q, r} dan { }.

Bukankah {p, q, r} adalah himpunan B itu sendiri? Kenapa {p. q, r} juga disebut sebagai himpunan bagian dari B? Di dalam matematika, setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Ingat bahwa semua anggota himpunan {p, q, r} adalah anggota himpunan B.

Dan kenapa himpunan kosong juga disebut sebagai himpunan bagian dari B? Himpunan kosong selalu menjadi himpunan bagian dari himpunan apa pun. 

Penjelasannya begini: Himpunan bagian adalah himpunan yang semua anggotanya adalah anggota himpunan induk. Ia tidak memiliki anggota yang tidak ada di dalam himpunan induknya. Nah, himpunan kosong tidak pernah memiliki anggota yang tidak ada di dalam himpunan apa  pun. Karena itu, dia selalu menjadi himpunan bagian dari himpunan apa saja.

Jadi, kita bisa menulis kedelapan himpunan bagian dari B seperti ini:

Mungkin ada penjelasanyang tidak mudah kalian pahami. Terutama mengenai himpunan kosong. Tetapi nanti kalian pasti bisa memahaminya. Untuk sekarang, kalian cukup mengingat bahwa himpunan kosong selalu merupakan himpunan bagian dari himpunan apa saja.

Menentukan jumlah himpunan bagian

Ini bagian yang sangat asyik. Kita akan melihat pola. Dengan memahami pola itu, kita bisa mengetahui secara mudah berapa jumlah himpunan bagian dari sebuah himpunan dengan anggota berapa pun.

Mari kita lihat tabel di bawah ini:

Tabel di atas membentuk pola segitiga seperti di bawah ini. 

Segitiga di atas disebut Segitiga Pascal, mengikuti nama ahli matematika Perancis Blaise Pascal. Segitiga Pascal adalah salah satu keajaiban lain yang bisa kita temukan dalam matematika. Nanti akan kita lihat sejumlah keajaiban segitiga tersebut.***

Sebagai latihan:

A = {p, q, r, s, t}    B = {r, s, t, u}   C = {s, t}

Isilah soal di bawah ini dengan lambang 

1. A____B
2. B____C
3. C____A
4. B____B
5. C____B
6. Ø____A
7. B____A
8. A____A

D = {r, s}

1. D____A
2. D____B
3. D____C
4. Ø____D
5. C____D